那个时候他还在普林斯顿。

说实话，这玩意对当时的薛松来说，明显还是太过高端了。好吧，其实对现在的他来说，同样如此。

完备空间是定义在p—进数体上的几何对象。而p—进数本身就是一个相对抽象且复杂的数学系统，与直觉上的实数或复数体系完全不同。更可怕的是，这套理论还结合了代数几何和拓扑学等多个分支。

这就已经不是简单的几何对象的研究了，还需要能理解几何对象的代数结构跟它在不同数域中的行为。

如果说以上这些难点都能克服的话，那麽完备空间中涉及到的倾斜理论，就真的让人挠头。这种思想通过引入一种新的代数几何视角，把一个p—进的完备体与特徵p的完美体关联起来。

但这个关联非常抽象，且涉及代数闭包丶整闭包等极为抽象的数学技术...

换言之，这套理论就不能藉助已有的数学框架来理解，想要理解彼得·舒尔茨的想法需要在脑子里建立一套全新的数学体系。乔喻昨天才下载了一篇这方面的论文随便看了看，今天似乎就已经能理解了？！

这难道就是基础不好的优势？不对，如果基础不好，这种论文应该根本看不懂才对。

讲真，薛松觉得很难理解乔喻到底是通过一种什麽方式，理解彼得·舒尔茨创造出的那些概念。

刚刚田言真说的那些话，薛松其实也听见了，但他却提不出什麽反对意见，只是默默的把乔喻的稿纸放回到桌面。

这大概就属于一种放养策略了。但给乔喻准备的资源都是顶级的，就这麽看着他每天自己鼓捣，能搞出个什麽成果来，似乎也是件很让人期待的事情。「薛教授，你有什麽意见？」田言真问了句。

薛松摇了摇头，露出一丝苦笑，说道：「我觉得这样安排也挺好，反正不过半年光景，先给他足够的自由度，然后看成绩说话。」田言真点了点头，看向乔喻道：「那就这麽定了，你还有什麽问题吗？」

乔喻连忙问道：「对了，那个，这栋楼上面是不是还有一位陈师兄啊？」田言真点了点头，答道：「是，他办公室在安排在三楼，你们碰到了？」

乔喻不停点头道：「对，对，对，我就是想问问陈师兄的博士研究的选题是什麽啊？」

田言真把乔喻上下打量了一番，乐了：「怎麽，指点同门上痛了？之前帮着薛教授的硕士生改论文觉得体现不出你的水平，想指点指点博士？」乔喻连连否认道：「没有，没有，我就是想听听陈师兄的选题有多难，对以后博士的选题有个心理准备呀。」

田言真摇了摇头说道：「你的情况跟陈师兄不一样，他的选题对你没有任何参考性。」

不过说完之后，看到乔喻那饱含求知欲的目光，还是开口透露道：「他的研究方向是复杂流形上的几何分析，具体说就是极小曲面在凯勒流形上的存在性与稳定性。比如如何通过变分法构造极小曲面丶极小曲面的能量泛函的稳定性，以及极小曲面在Ricci流作用下的演化，等等这些东西。」

「哦！」乔喻点了点头，一副恍然的样子。「怎麽？这些你也研究过？」田言真问道。

「没有啊！」乔喻摇了摇头，说道：「就是觉得师兄29岁还没毕业是有原因的。我之前看视频的时候就有大佬说过，牵扯到泛函分析的东西都挺难的。」

旁边的薛松忍不住了，说道：「泛函分析很难？再难也不可能比舒尔茨的完备空间更难！只要你能完全理解希尔伯特空间跟巴拿赫空间，学习泛函分析就是非常简单的事情。」

乔喻茫然的看向薛松，答道：「啊？那是不是我看到论文里分析无穷维空间涉及到的p进数分析方法，就是用泛函分析里的技巧啊？论文里很多地方都用到了P进巴拿赫空间。」

田言真点了点头答道：「做p进数的拓扑性质丶函数空间和p进表示理论相关解析时，巴拿赫空间的结构的确会经常出现。不过P进数比较特殊，涉及到的巴拿赫空间跟实数分析的情况不太一样，也就是你说的P进巴拿赫空间。

不要纠结这些了，等你知识面广了之后就明白了，在数学前沿研究中，许多数学工具都是有交集的。这也是数学家基础需要全面的原因。不过我想看看你能不能通过自己的方式做到什麽程度。还有问题没？」

乔喻立刻摇了摇头，说道：「没有了。」

「那我们先走了，明天薛教授会来带你去参加罗伯特教授的讲座。」说完，田言真便跟薛松一起离去。乔喻目送着两位教授离开，又站起身活动了一下身体，再次看起了论文。

田导说了，下午开始看罗伯特教授的论文就可以了。

现在距离吃饭还有一个多小时，乔喻觉得他应该差不多能把彼得·舒尔茨第一篇论文的营养吸收完了。..

两位数学导师在温暖的阳光下，默默走出了一段路，薛松忍不住开口问道：「田老，乔喻这半年让他自由去学习我觉得没什麽问题，但等到明年开学之后该怎麽安排他呢？还是让他跟英才班一起学习？」

田言真想了想，说道：「不急着做决定，先看看这孩子能做到什麽程度吧？说实话，我现在也不太知道该怎麽去教他，只是觉得可以尝试让他自己主动去发掘问题可能更适合一些。」薛松点了点头，说实话他也没什麽好办法来教乔喻，甚至当看到乔喻自问自答的那张稿纸时，他都开始怀疑自己能否有那个能力当好乔喻的小导。

不夸张的说，这个世界上能理解彼得·舒尔茨研究内容的数学家都不多。毕竟这是数学最基础的研究，旨在将代数几何丶数论跟p进分析多个领域之间搭建一座桥梁。乔喻在领悟这些复杂数学思想方面似乎有着极为惊人的天赋，这样的学生他不止是没带过，都没遇见过，顿时感觉压力山大。

「别想那麽多了，说到彼得舒尔茨还有一件趣事，他把自己的论文给他的导师兰伯特，兰伯特看完之后就告诉他可以博士毕业了。所以真正的天才，其实不需要我们太操心的。」田言真又乐观的补充了句。

听了这句话，薛松长出了口气，忍不住问了句：「您在普林斯顿任教的时候，接触的学生比较多，有没有遇到过有乔喻这样天赋的？」田言真笑了笑，说道：「你也在普林斯顿数学院读了八年书，你的同学是个什麽情况，应该比我更清楚吧？」

薛松摇了摇头，答道：「天才真的很多，我在其中属于那种很普通的，但要说真让我打心眼里觉得佩服的那种天才，还真没有。」

「那是因为你本来也属于天才的一员。」田言真感慨道：「能在普林斯顿顺利毕业的学生，相对于普通人来说都是天才。更别提还能博士毕业了，但数学跟理论物理领域的天才们，终究也是要分三六九等的啊！」

一句话，让薛松彻底没了聊天的兴致。

真是一个让人绝望的领域，天才都要被分成三六九等了.

「如果乔喻真是那种我以为的那种天才，我还得感谢你。如果不是那通电话，万一真错过了，我怕是要后悔一辈子。」田言真看向薛松，诚挚的说道。「您言重了！」薛松连忙客气道。

「行了，我先回去了，你也忙你的吧。哦，对了，跟余大的联合培养计划已经拟定好了，我帮你的学生也争取到了一些权益，如果他们的在联合培养期间的成果达到了燕北大学的标准，可以自行选择拿馀江大学或者燕北大学的毕业证。」

「哦，那可太感谢您了！」

「小薛，客气了啊！」

看着田言真走进旁边的小楼，薛松站在原地思考了片刻，然后笑着拿出手机，一边朝研究中心外走，一边编辑起消息。这个消息大概可以给他那帮博士生打上鸡血了吧？！

中午，乔喻又独自一人去食堂吃了顿午饭，回来小睡了十分钟后，乔喻便开始在燕北大学图书馆的后台搜索了罗伯特教授的论文下载了下来。听该听的话，也是学生必备的优点。

尤其是导师再三强调过的，甚至将之跟礼貌丶尊重扯上了关系，那就是必须要听的内容。至于其他的..其实可以有选择。

能成为大人物的人，大概率不可能事事都要跟学生斤斤计较。反正乔喻是这麽理解的。就比如星铁一中的张校长。

只要按照他的要求，把成绩搞出来，其他方面老张是真的特别宽容。

乔喻觉得他就算无聊到把铁一中的招牌给拆下来几个，老张都会笑着让学校后勤部去做个新的，然后对他说一句下不为例。在燕北大学图书馆的论文检索系统搜索了罗伯特·格林的名字，一下子出现了一堆的论文。

把乔喻吓了一跳。不过很快发现原来并不都是一个人的。国外叫罗伯特·格林的人看来很多。

虽然搜索彼得·舒尔茨的时候也碰到过类似问题，但只有一个干扰项，而且那个家伙还是研究化学的。论文方向完全不同。但罗伯特这家伙，好多都是数学向的论文。

好在乔喻发现这套论文检索系统其实很好用，不但内容丰富，而且还可以自行选择年限，高级检索页面甚至支持作者单位的搜索。乔喻记得老薛说过这位教授是纽约大学的，这就方便多了。

很快，正经罗伯特教授的论文便下载好了。

不知道是不是因为先研究彼得·舒尔茨的论文，让乔喻脑袋又开了一次窍，乔喻竟然觉得关于这位教授的论文理解起来好像挺容易的。好吧，说容易似乎有些飘了，但起码不难。

比如乔喻是真觉得那些引理丶定理的前置条件，一系列概念，以及证明过程都很容易就能理解。不需要耗费太多脑细胞就能看明白。不过这样劳逸结合还挺好的。昨天看彼得·舒尔茨的论文的确太费脑子了，今天读不那麽难以理解的论文权当放松。

只是虽然放松，但乔喻老老实实把两篇论文读完也已经是晚上九点了，中间就去吃了顿晚餐。放下论文，乔喻又开始习惯性思考，突然脑子里有了个想法。

罗伯特教授研究的内容说白了就是给定类型的代数曲线尤其是高维代数曲线的有理点个数上界的精确预估问题，这类型问题其实跟丢番图方程密切相关。寻找有理点的数量，然后研究这些有理数点的分布情况。

无非就是高维代数簇的几何结构往往更为复杂，具有更复杂的奇点丶拓扑性质以及不同的同调性质，这些几何特性都在影响了有理点的分布。

所以这类问题的研究目标其实只有一个，尽量简化寻找有理数点的过程，并能很轻松的找到其有理数点的分布。相当于给定一个高次的丢番图方程，能快速判定是否有解，并将这类方程解出来。

好吧，总之乔喻是这样理解的。

这就是一个数学门外汉的认知了，如果此时老薛在这里，听完乔喻的想法，大概会想直接把这个不知道天高地厚的家伙揍一顿。原因也很简单，研究目标简直太扯了。

简化寻找有理点的过程，但是想要轻松地找到有理点的分布在高维代数簇上几乎就是不可能的，这是数学常识。现在大家做的无非是过几何和代数工具高效估计有理点的数量，并通过现代代数几何工具理解它们的分布情况而已。

至于快速求解丢番图方程？

椭圆曲线的求解，或者模形式相关的更复杂的方程即便判定了有解，但真想解出来，老薛也只能说呵呵了。

当然这些对于乔喻这个对数学本就还没有太多敬畏之心的门外汉来说都不是问题，加上昨天他刚刚学习了彼得·舒尔茨的数学思想，一个很大胆的想法，突然就从乔喻脑子里冒了出来，且一发不可收拾。

为什麽他不能尝试用彼得·舒尔茨创造的理论来解决这一类问题呢？

先不管行不行，可以尝试着把完备空间引入其中，没有合适的工具来处理类似问题，但他也可以自己来创造嘛。

虽然这是人家搭建的框架，但只要在这个框架内，符合这个框架的规则，来进行工具创造，只要能解决问题，肯定也是可行的。那麽现在摆在乔喻面前的问题就很简单了，如何把有代数曲线有理数点上界估计这个问题，引入到似完备空间理论的框架中来？初生牛犊不怕虎的乔喻坐在桌前陷入了沉思。

一支笔也开始在稿纸上乱画起来。好吧...

这个问题似乎不那麽简单，主要是问题的转化。

想了很久，乔喻得出了一个结论，如果可以把有理数点上界估计转化为在完备几何对象上的同调和几何性质的问题，那麽就可以顺理成章的使用p进几何的深层工具，例如完备代数空间丶模形式的几何化丶以及p进同调理论，来分析这些有理数点。

就是不知道这样转化的话，会不会让问题变得更加抽象和复杂了。

但不要紧，反正他就是个小卡拉米，他就是玩而已。试试又不要钱的？于是很快乔喻就兴致勃勃的在稿纸上写下了这麽一段话：

「设X是一个定义在数域K上的高维代数曲线，且X是p进完备代数空间中的闭子集。则存在一个依赖于曲线X的几何性质的常数C，使得曲线上有理点的个数满足：N（X）≤C。」很自然的，N（X）表示曲线X上有理点的个数。

只是刚刚乔喻大脑里产生的直觉，一定会有这样一个常数C。原因很复杂，这跟曲线在完备空间下的几何构型有关，需要对彼得舒尔茨的理论有所了解，才能看懂这个命题。现在他需要做的第一步就是先把这个命题给证明了。

因为只要证明了真有这个常数C的存在，这个结论就将为复杂高维代数曲线上的有理点数量的上界估计提供扎实的理论依据。证明了第一步之后，就是找到这个常数C的公式，并证明这个公式正确的。

然后——问题解决！

不过当乔喻满怀壮志的准备证明这个命题的时候，突然觉得他提出的这个问题好像有那麽点无从下手。

他似乎陷入了把大象放入冰箱需要几步的怪圈。

第一步，打开冰箱门，第二步，把大象放进去，第三步，关冰箱门。唯一的问题是，他好像还没找到有大象那麽大的冰箱！

尤其是乔喻突然发现，即便这个常数C公式真的存在，那它将不仅依赖于曲线的几何性质，还可能依赖于数域K的特性丶曲线的模形式结构甚至其他代数几何工具。因为他绞尽脑汁之后，乔喻发现现有的代数几何工具，似乎并不支持能把这个C给找到。

如果换了一个正常数学人大概这个时候就会选择放弃了，但乔喻不太一样，他只是一个数学菜鸟，而且已经把这项挑战当成了一个游戏。虽然没有头绪，但万一成功了？

而且还是那句话，没有工具，完全可以自己造嘛。

想当年彼得舒尔茨才21岁，就能生造出一套如此牛逼的理论框架来，没道理他十五岁，就不能创造出几个能用的数学工具了，更别提整个理论框架都是人家提供的，他只需要在框架下进行二次创造，难度明显小的多。

毕竟规则都已经摆在那里，他只需要在这个框架规则的限定下，通过严谨的数学逻辑证明他的工具没错就够了。所以接下来的工作又能进一步简化了，什麽样的代数几何工具能帮他证明这个常数C存在。

乔喻愁眉苦脸的想了很久，然后再次确定了，首先他需要一个新的同调范畴工具。于是稿纸上又出现了一排字迹：

「同调范畴QH（Cp）是一个增强的同调范畴，定义在代数曲线Cp的完备化空间上。其基本对象是传统同调类H^i（Cp，Zp），但我们需要对其进行特殊处理，通过一个新的算符Q，该算符作用于同调类上，使得同调范畴中的每个对象不仅有拓扑结构，还具备一个额外的不变量...」

呼....乔喻很满意的看着这个表述，有了这个新的同调范畴，就能更精细地分解曲线的同调群，能让证明常数C的步骤大幅度简化，完美！果然，研究数学让人快乐！

那麽现在新的问题又来了，如何定义这个新的算符Q，乔喻感觉又卡壳了..

MMPD，不管了！想不通先把这个放一边，反正要证明常数C，这一个工具还不够..

于是已经彻底疯癫的乔喻，又开始生造起第二个工具，现在他需要一个新的模糊测度函数去逼近常数C。

」代数曲线P—进模糊测度ufuzzy（Cp）是一种新的测度函数，用于描述代数曲线Cp在p—进几何环境中的模糊性质。其定义如下....